Nilai \(x\) yang memenuhi \( 1 + (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x \) adalah…
- \( \frac{-3+\sqrt{3}}{2} \)
- \( 0 \)
- \( \frac{3-\sqrt{3}}{2} \)
- \(1\)
- \( \frac{3+\sqrt{3}}{2} \)
(Soal SIMAK UI 2017)
Pembahasan:
Perhatikan bahwa deret yang diberikan dalam soal dapat kita manipulasi menjadi:
\begin{aligned} &\Leftrightarrow 1 + (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x \\[8pt] &\Leftrightarrow (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 2-x-1 \\[8pt] &\Leftrightarrow (x-1)^2+(x-1)^3+(x-1)^4 + \cdots = 1-x \end{aligned}
Deret yang telah dimanipulasi di atas adalah deret geometri tak hingga dengan \( a = (x-1)^2 \) dan \( r = (x-1) \). Dengan demikian, berdasarkan deret geometri tak hingga, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} S_\infty &= \frac{a}{1-r} \\[8pt] 1- x &= \frac{(x-1)^2}{1-(x-1)} \\[8pt] 1-x &= \frac{x^2-2x+1}{2-x} \\[8pt] (1-x)(2-x) &= x^2-2x+1 \\[8pt] x^2-3x+2 &= x^2-2x+1 \\[8pt] x^2-x^2-3x+2x &= 1-2 \\[8pt] -x &= -1 \\[8pt] x &= 1 \end{aligned}
Jawaban D.